第26章 无解之题？两种答案！（2 / 3）
“染色法么……可以，很標准，但不够漂亮。”
他嘴角微扬，提笔在答题纸上飞快地书写起来。
【解法一：染色证明】
【我们將nxn的棋盘用四种顏色{1， 2， 3， 4}进行染色。令坐標为(i， j)的格子的顏色为(i 2)+ 2(j 2)+ 1。即交替染成：】
【1 3 1 3 ...】
united statesunited statesdating
【2 4 2 4 ...】
【1 3 1 3 ...】
【2 4 2 4 ...】
【可以发现，任何一个1x4的骨牌，无论横放还是竖放，都必然会恰好覆盖四种顏色各一个。】
【因此，若要完全覆盖，则棋盘中四种顏色的格子数量必须相等。】
【但当n为奇数时，四种顏色的格子数不可能完全相等。】
【当n为偶数时……】
许燃的笔速极快，只用了不到二十分钟，就將一个完美无瑕、逻辑严谨的染色法证明，写满了半张答题纸。
这个答案，足以让他拿下满分。
但他停下了笔，看了一眼自己写下的证明，轻轻摇了摇头。
“太普通了。”
他拿起一张新的答题纸，在上面写下了三个大字——【解法二】。
这一次，他的思路，天马行空，完全脱离了高中竞赛的范畴。
【解法二：代数赋值法】
【我们將复数域引入棋盘。令坐標为(i， j)的格子的权值为w^(i+2j)，其中w=e^(iπ/2)=i，为四次单位根。】
【那么，整个棋盘所有格子权值的总和s =Σ w^(i+2j)(1≤ i， j≤ n)。】
【这是一个可以利用等比数列求和公式计算的几何级数……】
【经过计算，若且唯若n是4的倍数时，s = 0。】
【而任何一个1x4的骨牌，其覆盖的四个格子的权值之和，恆为0。】
【因此，若要用1x4骨牌完全覆盖棋盘，其充要条件是整个棋盘的权值总和s=0。】
【所以，只有当n是4的倍数时，才可能被完全覆盖。】
写完这个证明，许燃才满意地点了点头。
这个解法，用代数的方法，將一个看似纯粹的组合问题，转化得乾净利落。
其背后蕴含的，是“群表示论”的思想萌芽。 ↑返回顶部↑
他嘴角微扬，提笔在答题纸上飞快地书写起来。
【解法一：染色证明】
【我们將nxn的棋盘用四种顏色{1， 2， 3， 4}进行染色。令坐標为(i， j)的格子的顏色为(i 2)+ 2(j 2)+ 1。即交替染成：】
【1 3 1 3 ...】
united statesunited statesdating
【2 4 2 4 ...】
【1 3 1 3 ...】
【2 4 2 4 ...】
【可以发现，任何一个1x4的骨牌，无论横放还是竖放，都必然会恰好覆盖四种顏色各一个。】
【因此，若要完全覆盖，则棋盘中四种顏色的格子数量必须相等。】
【但当n为奇数时，四种顏色的格子数不可能完全相等。】
【当n为偶数时……】
许燃的笔速极快，只用了不到二十分钟，就將一个完美无瑕、逻辑严谨的染色法证明，写满了半张答题纸。
这个答案，足以让他拿下满分。
但他停下了笔，看了一眼自己写下的证明，轻轻摇了摇头。
“太普通了。”
他拿起一张新的答题纸，在上面写下了三个大字——【解法二】。
这一次，他的思路，天马行空，完全脱离了高中竞赛的范畴。
【解法二：代数赋值法】
【我们將复数域引入棋盘。令坐標为(i， j)的格子的权值为w^(i+2j)，其中w=e^(iπ/2)=i，为四次单位根。】
【那么，整个棋盘所有格子权值的总和s =Σ w^(i+2j)(1≤ i， j≤ n)。】
【这是一个可以利用等比数列求和公式计算的几何级数……】
【经过计算，若且唯若n是4的倍数时，s = 0。】
【而任何一个1x4的骨牌，其覆盖的四个格子的权值之和，恆为0。】
【因此，若要用1x4骨牌完全覆盖棋盘，其充要条件是整个棋盘的权值总和s=0。】
【所以，只有当n是4的倍数时，才可能被完全覆盖。】
写完这个证明，许燃才满意地点了点头。
这个解法，用代数的方法，將一个看似纯粹的组合问题，转化得乾净利落。
其背后蕴含的，是“群表示论”的思想萌芽。 ↑返回顶部↑