第106章 简单的，困难的（1 / 5）
第106章 简单的，困难的
“空间变换？”
“对，你是学计算机的，不是学数学的，所以不要去死扣教材上的概念。
听起来你们教授上课只是教你们如何计算而已。达到这个教学目標的確只需要背公式就足够了。”
乔源解释道。
“然后呢？”夏汐月虚心的继续问道。
“把矩阵当成了空间变换就很好理解特徵值了。丟一个向量给矩阵，然后就能得出一个新的向量。
比如现在有一个2x2的矩阵a，你隨便拿一个向量乘它，就会得到一个新的向量。这一过程中它们的几何意义会发生一些改变。
在坐標轴上的看来就是向量的方向变了。当然这是最简单的一种情况，但绝大多数的情况下，通过矩阵乘法方向都会发生变化。
特徵值就代表那些特殊情况。算的多了你就会发现有些特殊的向量乘了矩阵之后，它们的方向並没有改变。
它们在坐標轴上的指向依然跟在变换之前一样，区別只是这条线被拉长或者缩短了。
这一类经过矩阵变化但方向不变的向量就是特徵向量，这些向量被拉长或者缩短的倍数就是你无法理解的特徵值。
把这个理解套进你已经背下来的公式，也就是av等於λv。答案就很明显了。
a代表矩阵，v则代表向量，也就是矩阵a对向量v做了一次变换，等號代表线两端指向的方向不变，但是长度变成了之前的入倍。
更深入的理解，你会发现入的值决定了变换之后的结果。比如入大於1代表变长了，小於1但大於零，代表缩短了。
如果小於0则代表不但被拉伸了，还被反射。如果等於零，则代表著降维，从线变成了点。也是课本上说的压缩到了零向量。
夏汐月恍然大悟的点起头来。
“所以你们研究数学就是这样联想的？”
“也不全是，会更复杂。”
乔源耐心的答道：“因为推广到一些复杂情况，这些东西会很抽象。比如无限维空间中的算子。
举个例子，一个函数空间，向量是一个函数，空间由无限多个基函数张成。
算子也已经不是矩阵，而是对函数的操作。这就更自由了。代价就是已经没法用可视化来做比喻。
你们计算机可能不需要学数学物理，你接触一下就知道。比如波函数，给你一个动量算子操作，来求特徵值。
而且到了无限维，算子还可能是不连续的。比如微分算子作用在函数上，函数一个微小跳跃，导数就会爆炸。
这可能需要等你接触到狄利克雷函数的导数处处不连续就能理解了。所以很多数学文章里会去定义弱收敛，强收敛，否则就无法保证解的存在性。
所以像你问的这些简单定义我还能用比较直观的几何方式给你解释。但推广到无限维之后，我能想到，但没法用语言去解释。
我打个比方啊，傅立叶变换会將时域函数旋转到频域，这个操作我脑子里的函数构成都被彻底改变了，而且是非常复杂的变化，我不知道该怎么去描述。”
夏汐月仔细思索了半晌，才开口说道：“你的意思是在时域函数做傅立叶变换的时候脑子里都能產生画面感？”
乔源点了点头。皱著眉头思索了片刻才说道：“一定要做个描述的话，就好像原本是一团不同顏色的乱麻纠缠在一起。
经过变换之后，这些乱麻被分出了顏色，然后相对整齐的排列在一起。对不起，虽然这个描述还是不那么准確，但已经是我能想到最贴切的形容了。” ↑返回顶部↑
“空间变换？”
“对，你是学计算机的，不是学数学的，所以不要去死扣教材上的概念。
听起来你们教授上课只是教你们如何计算而已。达到这个教学目標的確只需要背公式就足够了。”
乔源解释道。
“然后呢？”夏汐月虚心的继续问道。
“把矩阵当成了空间变换就很好理解特徵值了。丟一个向量给矩阵，然后就能得出一个新的向量。
比如现在有一个2x2的矩阵a，你隨便拿一个向量乘它，就会得到一个新的向量。这一过程中它们的几何意义会发生一些改变。
在坐標轴上的看来就是向量的方向变了。当然这是最简单的一种情况，但绝大多数的情况下，通过矩阵乘法方向都会发生变化。
特徵值就代表那些特殊情况。算的多了你就会发现有些特殊的向量乘了矩阵之后，它们的方向並没有改变。
它们在坐標轴上的指向依然跟在变换之前一样，区別只是这条线被拉长或者缩短了。
这一类经过矩阵变化但方向不变的向量就是特徵向量，这些向量被拉长或者缩短的倍数就是你无法理解的特徵值。
把这个理解套进你已经背下来的公式，也就是av等於λv。答案就很明显了。
a代表矩阵，v则代表向量，也就是矩阵a对向量v做了一次变换，等號代表线两端指向的方向不变，但是长度变成了之前的入倍。
更深入的理解，你会发现入的值决定了变换之后的结果。比如入大於1代表变长了，小於1但大於零，代表缩短了。
如果小於0则代表不但被拉伸了，还被反射。如果等於零，则代表著降维，从线变成了点。也是课本上说的压缩到了零向量。
夏汐月恍然大悟的点起头来。
“所以你们研究数学就是这样联想的？”
“也不全是，会更复杂。”
乔源耐心的答道：“因为推广到一些复杂情况，这些东西会很抽象。比如无限维空间中的算子。
举个例子，一个函数空间，向量是一个函数，空间由无限多个基函数张成。
算子也已经不是矩阵，而是对函数的操作。这就更自由了。代价就是已经没法用可视化来做比喻。
你们计算机可能不需要学数学物理，你接触一下就知道。比如波函数，给你一个动量算子操作，来求特徵值。
而且到了无限维，算子还可能是不连续的。比如微分算子作用在函数上，函数一个微小跳跃，导数就会爆炸。
这可能需要等你接触到狄利克雷函数的导数处处不连续就能理解了。所以很多数学文章里会去定义弱收敛，强收敛，否则就无法保证解的存在性。
所以像你问的这些简单定义我还能用比较直观的几何方式给你解释。但推广到无限维之后，我能想到，但没法用语言去解释。
我打个比方啊，傅立叶变换会將时域函数旋转到频域，这个操作我脑子里的函数构成都被彻底改变了，而且是非常复杂的变化，我不知道该怎么去描述。”
夏汐月仔细思索了半晌，才开口说道：“你的意思是在时域函数做傅立叶变换的时候脑子里都能產生画面感？”
乔源点了点头。皱著眉头思索了片刻才说道：“一定要做个描述的话，就好像原本是一团不同顏色的乱麻纠缠在一起。
经过变换之后，这些乱麻被分出了顏色，然后相对整齐的排列在一起。对不起，虽然这个描述还是不那么准確，但已经是我能想到最贴切的形容了。” ↑返回顶部↑