第三十一章 多相处还是有用的（3 / 3）
陈林看著屏幕上分门別类整理得清清楚楚的文件夹和文档，心里暗爽。
看来多相处还是有用的啊，沈妍把自己的习惯都记得一清二楚。
他拉过一张椅子，在沈妍旁边坐下，空气中似乎还飘散著她发梢淡淡的洗髮水清香。
“那就还是边解题边给你讲”陈林的声音里带著一丝自己都没察觉到的笑意，目光专注地落在了电脑屏幕上。
【第一题：设Ω???为有界开集，考虑边值问题
?Δu + u = f inΩ，
u = 0 on?Ω，
其中 f∈l2(Ω)。
(1)写出该问题的弱解定义（给出 sobolev空间、双线性型、线性泛函）。
(2)用 lax–milgram定理证明弱解存在且唯一。
(3)给出解的先验估计：∥u∥{h1}≤ c∥f∥{l2}，並说明常数 c的依赖关係。】
陈林一边在草稿纸上写一边给沈妍讲解：“第一问，先令工作空间为 sobolev空间 v := h?1(Ω)其范数取∥v∥{h1}:=(∥v∥{l2}2+∥?v∥_{l2}2)^{1/2}。”
“然后我们定义双线性型 a(u， v):=∫_Ω(?u·?v + u v) dx， u， v∈ v。”
“定义线性泛函?(v):=∫_Ω f v dx， v∈ v
若 u∈ v满足a(u， v)=?(v) ? v∈ v则称 u为原边值问题的弱解。”
“接下来我们看第二题：......”
就这样，和上次諮询一样，陈林就这样不停在草稿纸上写下解题步骤，偶尔停下来给沈妍详细解释某个关键步骤。
沈妍大多数时候都在认真听讲，偶尔会提出疑问，陈林解答了她的问题，等她理解后，继续讲下一个问题。
2个多小时的时间过的很快，窗外的太阳也开始慢慢西斜了。
“......继续叠代，我们会得到u3的 h?lder光滑度隨 u提升而提升，每次增加 2阶导数，形成闭循环。归纳可得 u∈c^{k，α}(Ω?)对所有 k≥2。接著我们求极限：u属於所有 h?lder空间? u∈c^∞(Ω?)。因此，从 h1弱解出发，经极大值原理得到 l^∞控制，再通过靴带法逐步提升，最终得到光滑解。”
陈林又讲完了一道题，他停下来，喝一口还有大半杯的多肉青提，等著沈妍理解完了，他就准备讲今天的最后一道题了
突然，一声陈林特別熟悉的清脆嗓音在教室门口响起：“你们果然在这里啊，陈林学弟，快来帮学姐拿一下晚饭。”
陈林：？ ↑返回顶部↑
看来多相处还是有用的啊，沈妍把自己的习惯都记得一清二楚。
他拉过一张椅子，在沈妍旁边坐下，空气中似乎还飘散著她发梢淡淡的洗髮水清香。
“那就还是边解题边给你讲”陈林的声音里带著一丝自己都没察觉到的笑意，目光专注地落在了电脑屏幕上。
【第一题：设Ω???为有界开集，考虑边值问题
?Δu + u = f inΩ，
u = 0 on?Ω，
其中 f∈l2(Ω)。
(1)写出该问题的弱解定义（给出 sobolev空间、双线性型、线性泛函）。
(2)用 lax–milgram定理证明弱解存在且唯一。
(3)给出解的先验估计：∥u∥{h1}≤ c∥f∥{l2}，並说明常数 c的依赖关係。】
陈林一边在草稿纸上写一边给沈妍讲解：“第一问，先令工作空间为 sobolev空间 v := h?1(Ω)其范数取∥v∥{h1}:=(∥v∥{l2}2+∥?v∥_{l2}2)^{1/2}。”
“然后我们定义双线性型 a(u， v):=∫_Ω(?u·?v + u v) dx， u， v∈ v。”
“定义线性泛函?(v):=∫_Ω f v dx， v∈ v
若 u∈ v满足a(u， v)=?(v) ? v∈ v则称 u为原边值问题的弱解。”
“接下来我们看第二题：......”
就这样，和上次諮询一样，陈林就这样不停在草稿纸上写下解题步骤，偶尔停下来给沈妍详细解释某个关键步骤。
沈妍大多数时候都在认真听讲，偶尔会提出疑问，陈林解答了她的问题，等她理解后，继续讲下一个问题。
2个多小时的时间过的很快，窗外的太阳也开始慢慢西斜了。
“......继续叠代，我们会得到u3的 h?lder光滑度隨 u提升而提升，每次增加 2阶导数，形成闭循环。归纳可得 u∈c^{k，α}(Ω?)对所有 k≥2。接著我们求极限：u属於所有 h?lder空间? u∈c^∞(Ω?)。因此，从 h1弱解出发，经极大值原理得到 l^∞控制，再通过靴带法逐步提升，最终得到光滑解。”
陈林又讲完了一道题，他停下来，喝一口还有大半杯的多肉青提，等著沈妍理解完了，他就准备讲今天的最后一道题了
突然，一声陈林特別熟悉的清脆嗓音在教室门口响起：“你们果然在这里啊，陈林学弟，快来帮学姐拿一下晚饭。”
陈林：？ ↑返回顶部↑