第十九章 图像处理中的变分模型（3 / 4）
= 2 *[x3/3]{0}^{1}
= 2*(1/3)= 2/3 <∞“
“所以，u∈ l2(Ω)。“
沈妍若有所思地点点头：“原来验证函数属於l2空间，就是要证明它的l2范数是有限的。“
“没错。“陈林继续写道，“接下来要求弱导数，这个稍微复杂一点。“
他在纸上画了一个简单的图，展示|x|函数的形状。
“你看，|x|在x=0处不可导，所以我们不能用普通的导数概念。这时候就需要用到弱导数的定义。“
陈林开始详细推导，笔尖在纸上飞快移动：
“设 v(x)= sign(x)={-1， x<0; 1， x>0}“
“对任意φ∈ c_c^∞(Ω)，我们需要验证：“
“∫{-1}^{1}|x|φ(x) dx =-∫{-1}^{1} v(x)φ(x) dx“
他將积分分成两部分计算，每一步都写得清清楚楚。
沈妍看得很专注，偶尔会提出疑问：“这里为什么可以分部积分？“
“因为φ是紧支撑的光滑函数，“陈林耐心解释，“在边界处它的值为零，所以分部积分不会產生边界项。“
时间在不知不觉中流逝。
阳光透过窗户，在草稿纸上投下斑驳的光影。
陈林的笔尖沙沙作响，偶尔停下来给沈妍详细解释某个关键步骤。
“你看，最后我们得到：“
“左式=∫{-1}^{0}φ dx -∫{0}^{1}φ dx“
“右式也是一样的结果，所以v確实是u的弱导数。“
“而且由於|v(x)|=1在Ω上有界，显然u∈ l1_loc(Ω)。“
沈妍恍然大悟：“原来弱导数的本质是通过积分来定义的，这样就避开了函数在某些点不可导的问题。“
“理解得很到位。“陈林装模做样，讚许地点点头，“我们继续看b小题。“
“这个就简单了，因为我们已经在a小题中证明了关键的等式。“
他快速写下：
“由(a)已证：
∫Ω uφ dx =∫{-1}^{0}φ dx -∫{0}^{1}φ dx
-∫Ω uφ dx =-∫Ω vφ dx =相同结果
故等式成立。“
做完第一题，陈林抬头看了看沈妍：“怎么样，这一题涉及的弱导数的基本概念理解了吗？“ ↑返回顶部↑
= 2*(1/3)= 2/3 <∞“
“所以，u∈ l2(Ω)。“
沈妍若有所思地点点头：“原来验证函数属於l2空间，就是要证明它的l2范数是有限的。“
“没错。“陈林继续写道，“接下来要求弱导数，这个稍微复杂一点。“
他在纸上画了一个简单的图，展示|x|函数的形状。
“你看，|x|在x=0处不可导，所以我们不能用普通的导数概念。这时候就需要用到弱导数的定义。“
陈林开始详细推导，笔尖在纸上飞快移动：
“设 v(x)= sign(x)={-1， x<0; 1， x>0}“
“对任意φ∈ c_c^∞(Ω)，我们需要验证：“
“∫{-1}^{1}|x|φ(x) dx =-∫{-1}^{1} v(x)φ(x) dx“
他將积分分成两部分计算，每一步都写得清清楚楚。
沈妍看得很专注，偶尔会提出疑问：“这里为什么可以分部积分？“
“因为φ是紧支撑的光滑函数，“陈林耐心解释，“在边界处它的值为零，所以分部积分不会產生边界项。“
时间在不知不觉中流逝。
阳光透过窗户，在草稿纸上投下斑驳的光影。
陈林的笔尖沙沙作响，偶尔停下来给沈妍详细解释某个关键步骤。
“你看，最后我们得到：“
“左式=∫{-1}^{0}φ dx -∫{0}^{1}φ dx“
“右式也是一样的结果，所以v確实是u的弱导数。“
“而且由於|v(x)|=1在Ω上有界，显然u∈ l1_loc(Ω)。“
沈妍恍然大悟：“原来弱导数的本质是通过积分来定义的，这样就避开了函数在某些点不可导的问题。“
“理解得很到位。“陈林装模做样，讚许地点点头，“我们继续看b小题。“
“这个就简单了，因为我们已经在a小题中证明了关键的等式。“
他快速写下：
“由(a)已证：
∫Ω uφ dx =∫{-1}^{0}φ dx -∫{0}^{1}φ dx
-∫Ω uφ dx =-∫Ω vφ dx =相同结果
故等式成立。“
做完第一题，陈林抬头看了看沈妍：“怎么样，这一题涉及的弱导数的基本概念理解了吗？“ ↑返回顶部↑