第40章 竞赛集训第一课，再次降维打击（4 / 6）
十五分钟后。
阎正放下粉笔。
“这道题有一定难度,你们能做到哪一步,就做到哪一步。”
教室里只有沙沙的写字声。
又过了十分钟。
阎正看向全班。
“谁有思路?”
阎正直接看向最后一排。
“陆昭昭?”
陆昭昭放下笔。
“我写了一个证明,但用到了一个结论,不確定是否超出竞赛范围。”
阎正点点头。
“你先讲讲思路。”
陆昭昭走到讲台前,拿起粉笔。
“我用反证法。假设形如4k+1的质数只有有限个,设为p?,p?,…,p?。”
她的字跡工整。
“构造数n=(2p?p?…p?)2+1”
“注意到n≡1(mod 4),所以n是4k+1型的。”
她继续写道:
“n＞1,必有质因子。设q是n的任一质因子。”
“如果q=2,则2|(2p?p?…p?)2+1,但(2p?p?…p?)2是偶数,加1是奇数,矛盾。”
“所以q是奇质数。”
“如果q是4k+3型的,那么n的所有质因子都是4k+3型,则n也是4k+3型,与n≡1(mod 4)矛盾。”
“所以q必是4k+1型的质数。”
她停顿了一下。
“但q不在{p?,p?,…,p?}中,因为n除以任何p?都余1。”
“这与假设矛盾。所以形如4k+1的质数有无穷多个。”
陆昭昭放下粉笔。
“但这个证明用到了4k+3型质数的乘积还是4k+3型这个性质,需要单独证明。”
阎正点点头。 ↑返回顶部↑
阎正放下粉笔。
“这道题有一定难度,你们能做到哪一步,就做到哪一步。”
教室里只有沙沙的写字声。
又过了十分钟。
阎正看向全班。
“谁有思路?”
阎正直接看向最后一排。
“陆昭昭?”
陆昭昭放下笔。
“我写了一个证明,但用到了一个结论,不確定是否超出竞赛范围。”
阎正点点头。
“你先讲讲思路。”
陆昭昭走到讲台前,拿起粉笔。
“我用反证法。假设形如4k+1的质数只有有限个,设为p?,p?,…,p?。”
她的字跡工整。
“构造数n=(2p?p?…p?)2+1”
“注意到n≡1(mod 4),所以n是4k+1型的。”
她继续写道:
“n＞1,必有质因子。设q是n的任一质因子。”
“如果q=2,则2|(2p?p?…p?)2+1,但(2p?p?…p?)2是偶数,加1是奇数,矛盾。”
“所以q是奇质数。”
“如果q是4k+3型的,那么n的所有质因子都是4k+3型,则n也是4k+3型,与n≡1(mod 4)矛盾。”
“所以q必是4k+1型的质数。”
她停顿了一下。
“但q不在{p?,p?,…,p?}中,因为n除以任何p?都余1。”
“这与假设矛盾。所以形如4k+1的质数有无穷多个。”
陆昭昭放下粉笔。
“但这个证明用到了4k+3型质数的乘积还是4k+3型这个性质,需要单独证明。”
阎正点点头。 ↑返回顶部↑