第37章 方法论（6 / 9）
他写得不快。
以便蒋瑶的大脑能够跟上消化。
蒋瑶一开始还想跟著点头附和，到了后来，她乾脆一动不动了。她所有的注意力，都紧紧地盯住江临笔下的每一行字符，盯住那些公式的来龙去脉。
江临写完最后一步，抬起头问道：“好，现在逻辑链条传导到了最后一步，问题变成了什么？”
蒋瑶顺著那工整到近乎死板的字跡看下去，答说：“既然构造的结果是-2lnx_1，那么要想证明g(1/x)＞g(x_1)，就只需要证明在x=x_1的时候，-2lnx_1＞0。”
“也就是？”
“也就是要求lnx_1＜0，即x_1＜1。”蒋瑶的思路如同破冰的春水，畅快流淌。
江临点点头，拋出最后一个问题：“那么，证明的最后一块拼图，x_1＜1这个结论，从哪里来？”
蒋瑶立刻低头去看第一问自己做过的结果。
她知道g(x)=lnx+x+1/x。
在第一问里，为了求最小值，她求过它的导数.
g(x)=1/x+1-1/x^2。
令导数为零找极值点：1/x+1-1/x^2=0。
因为x＞0，等式两边同乘以x^2，得到一个极其简单的一元二次方程：x+x^2-1=0。
也就是：x^2+x-1=0。
解这个方程，捨去负根，得到的正根是：a=(根號5-1)/2。
这恰好是黄金分割数。
显然，a＜1。
根据导数和极值点的关係，因为g(x)在区间(0，a)上单调递减，在在区间(a，+无穷)上单调递增。
题目已知g(x)=a有两个正根x1＜x2。
从刚才画的图上可以非常直观地看出，x_1必然在极小值点的左边，也就是递减区间；x_2必然在极小值点的右边，也就是递增区间。
所以必然有：0＜x_1＜a＜x_2。
既然x_1＜a，而a＜1，那么根据传递性，理所当然地得出：x_1＜1。
既然x_1＜1，所以：-2lnx_1＞0
也就是：g(1/x_1)＞g(x_1)=a。
又因为前面討论过，由於1/x_1＞1＞a，说明1/x_1这个点也落在(a，+无穷)这个递增区间上。在这个单调递增的右支上，既然g(x_2)=a，且g(1/x_1)＞a。
所以必然得出横坐標的大小关係：x_2＜1/x_1。
两边同乘正数x_1，最终得证：x_1x_2＜1。
当蒋瑶的大脑顺著这条毫无破绽的逻辑链条，一口气走到终点的时候，她忽然觉得，眼前这道张牙舞爪的压轴大题，变得非常安静。
不是觉得它变简单了。这道题依旧很难。 ↑返回顶部↑
以便蒋瑶的大脑能够跟上消化。
蒋瑶一开始还想跟著点头附和，到了后来，她乾脆一动不动了。她所有的注意力，都紧紧地盯住江临笔下的每一行字符，盯住那些公式的来龙去脉。
江临写完最后一步，抬起头问道：“好，现在逻辑链条传导到了最后一步，问题变成了什么？”
蒋瑶顺著那工整到近乎死板的字跡看下去，答说：“既然构造的结果是-2lnx_1，那么要想证明g(1/x)＞g(x_1)，就只需要证明在x=x_1的时候，-2lnx_1＞0。”
“也就是？”
“也就是要求lnx_1＜0，即x_1＜1。”蒋瑶的思路如同破冰的春水，畅快流淌。
江临点点头，拋出最后一个问题：“那么，证明的最后一块拼图，x_1＜1这个结论，从哪里来？”
蒋瑶立刻低头去看第一问自己做过的结果。
她知道g(x)=lnx+x+1/x。
在第一问里，为了求最小值，她求过它的导数.
g(x)=1/x+1-1/x^2。
令导数为零找极值点：1/x+1-1/x^2=0。
因为x＞0，等式两边同乘以x^2，得到一个极其简单的一元二次方程：x+x^2-1=0。
也就是：x^2+x-1=0。
解这个方程，捨去负根，得到的正根是：a=(根號5-1)/2。
这恰好是黄金分割数。
显然，a＜1。
根据导数和极值点的关係，因为g(x)在区间(0，a)上单调递减，在在区间(a，+无穷)上单调递增。
题目已知g(x)=a有两个正根x1＜x2。
从刚才画的图上可以非常直观地看出，x_1必然在极小值点的左边，也就是递减区间；x_2必然在极小值点的右边，也就是递增区间。
所以必然有：0＜x_1＜a＜x_2。
既然x_1＜a，而a＜1，那么根据传递性，理所当然地得出：x_1＜1。
既然x_1＜1，所以：-2lnx_1＞0
也就是：g(1/x_1)＞g(x_1)=a。
又因为前面討论过，由於1/x_1＞1＞a，说明1/x_1这个点也落在(a，+无穷)这个递增区间上。在这个单调递增的右支上，既然g(x_2)=a，且g(1/x_1)＞a。
所以必然得出横坐標的大小关係：x_2＜1/x_1。
两边同乘正数x_1，最终得证：x_1x_2＜1。
当蒋瑶的大脑顺著这条毫无破绽的逻辑链条，一口气走到终点的时候，她忽然觉得，眼前这道张牙舞爪的压轴大题，变得非常安静。
不是觉得它变简单了。这道题依旧很难。 ↑返回顶部↑